UD2 - Lógica Combinacional y Álgebra de Boole

El diseño de sistemas digitales no se basa únicamente en conocer los sistemas de numeración, sino en la capacidad de tomar decisiones lógicas mediante circuitos. Desde un sensor que detecta si una puerta está abierta hasta el control de un brazo robótico en una cadena de montaje, todos los sistemas combinacionales se rigen por un mismo lenguaje matemático: el Álgebra de Boole.

En esta unidad aprenderemos a modelar el comportamiento de un circuito lógico mediante tablas de verdad, a implementarlo con puertas lógicas y a simplificarlo usando propiedades algebraicas y diagramas de Karnaugh. El objetivo final es diseñar circuitos que cumplan una función específica con el menor número de componentes posible: más simples, más rápidos y más económicos.

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1. Introducción al Álgebra de Boole

A mediados del siglo XIX, George Boole (1815–1864) desarrolló el álgebra que lleva su nombre con el propósito de investigar las leyes fundamentales del razonamiento humano. Tuvo que pasar casi un siglo para que la comunidad de ingeniería descubriera la potencia de este sistema matemático en el análisis e implementación de circuitos digitales.

El álgebra de Boole es un sistema mediante el cual ciertos razonamientos lógicos pueden expresarse en términos matemáticos. Sus elementos fundamentales son:

• Un conjunto de premisas expresadas en lenguaje natural que dan como resultado verdadero o falso.
• Cada premisa tiene una premisa complementaria, que es la negación de la primera.
• Una operación lógica solo puede dar dos posibles resultados: verdadero o falso, por lo que el álgebra booleana puede entenderse como el álgebra del sistema binario.

El álgebra de Boole es el puente entre el razonamiento lógico humano y el diseño de circuitos electrónicos. Sin ella, no existirían los procesadores, los PLCs ni ningún sistema digital programable.

2. Tablas Lógicas o de Verdad

La forma más sencilla de representar una operación o función lógica es mediante una tabla de verdad. Una tabla de verdad describe el comportamiento lógico de un circuito en función de todas sus posibles combinaciones de entrada.

Por ejemplo, para una función con dos variables de entrada (A y B), la tabla de verdad tiene 4 filas ($2^2=4$ combinaciones). Cada fila representa un estado posible de las entradas y el valor resultante de la salida.

A	B	S = A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Una operación booleana solo puede dar como resultado dos posibles valores: verdadero o falso, 1 lógico o 0 lógico, 5V o 0V, etc.

Analogía con circuitos eléctricos

Para entender el concepto de tabla de verdad de forma intuitiva, imaginemos un circuito eléctrico con dos interruptores en serie y una lámpara. La lámpara solo se encenderá cuando ambos interruptores estén cerrados (1). Si cualquiera está abierto (0), la lámpara permanece apagada. Esto corresponde a una función AND.

El número de combinaciones posibles en una tabla de verdad depende del número de variables de entrada según la fórmula:

$\text{Combinaciones}=2^n$

donde $n$ es el número de variables de entrada. Así, para 2 variables hay 4 combinaciones, para 3 variables hay 8, y para 4 variables hay 16.

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3. Operaciones y Puertas Lógicas

Al igual que en el álgebra convencional existen operaciones básicas (suma, resta, multiplicación), en el álgebra de Boole existen operaciones lógicas que se implementan físicamente mediante puertas lógicas. Estas son los bloques de construcción de cualquier circuito digital.

Operación	Nombre	Tipo
NOT	Negación	Básica
AND	Producto lógico	Básica
OR	Suma lógica	Básica
NAND	Producto negado	Derivada
NOR	Suma negada	Derivada
XOR	O exclusiva	Derivada
NXOR	O exclusiva negada	Derivada

3.1 Función Igualdad (Buffer)

La función más elemental, en la que solo interviene una variable. La salida es exactamente igual a la entrada: $S=A$. A nivel lógico carece de sentido, pero a nivel digital es muy usada como buffer: un dispositivo que no altera el valor lógico pero sí refuerza la señal eléctrica, permitiendo manejar cargas mayores o aislar etapas de un circuito.

A	S
0	0
1	1

3.2 Función Negación (NOT)

Si tenemos una variable $A$, su complemento es la variable negada: $\bar{A}$. Esta operación invierte el valor de entrada: un 0 se convierte en 1 y viceversa.

Esta operación tiene la propiedad de involución, lo que significa que dos negaciones consecutivas se anulan entre sí: $\overline{\stackrel{ˉ}{A}}=A$.

A	S
0	1
1	0

La puerta NOT es la base de todas las puertas negadas (NAND, NOR, NXOR). Físicamente, se implementa con un transistor en configuración inversora.

3.3 Función Producto (AND)

La función AND produce una salida 1 solo cuando todas las entradas son 1. Es el equivalente lógico a los interruptores en serie: la corriente solo pasa si todos los interruptores están cerrados.

$S=A\cdot B$

A	B	S
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

En programación de PLCs, la función AND se usa constantemente: por ejemplo, para activar un motor solo cuando el sensor de temperatura está en rango Y el de presión también.

3.4 Función Suma (OR)

La función OR produce una salida 1 cuando al menos una de las entradas es 1. Es el equivalente lógico a interruptores en paralelo: basta con que uno esté cerrado para que la lámpara se encienda.

$S=A+B$

A	B	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3.5 Producto Negado (NAND)

La puerta NAND resulta de conectar una puerta AND seguida de una NOT. Su salida es la inversa de la AND: da 0 solo cuando todas las entradas son 1.

$S=\overline{A\cdot B}$

A	B	S
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

La puerta NAND se considera una puerta universal: cualquier circuito lógico puede construirse utilizando únicamente puertas NAND. Esto la hace extremadamente valiosa en el diseño de circuitos integrados.

3.6 Suma Negada (NOR)

La puerta NOR resulta de conectar una puerta OR seguida de una NOT. Su salida es la inversa de la OR: da 1 solo cuando todas las entradas son 0.

$S=\overline{A+B}$

A	B	S
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Al igual que la NAND, la NOR también es una puerta universal: se puede construir cualquier función lógica usando solo puertas NOR.

3.7 O Exclusiva (XOR)

La puerta XOR produce una salida 1 cuando las entradas son diferentes entre sí. Es decir, la salida es 1 si A es 1 O B es 1, pero no ambos a la vez.

$S=\bar{A}\cdot B+A\cdot \bar{B}$

A	B	S
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

La puerta XOR es fundamental en circuitos aritméticos: un sumador binario de un bit se construye con una XOR (para la suma) y una AND (para el acarreo). También se usa en sistemas de detección de errores, ya que permite comparar dos bits y detectar si difieren.

3.8 O Exclusiva Negada (NXOR)

La puerta NXOR es la inversa de la XOR: produce una salida 1 cuando las entradas son iguales. Su expresión algebraica es:

$S=\bar{A}\cdot \bar{B}+B\cdot \overline{\stackrel{ˉ}{A}}$

A	B	S
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

La NXOR se utiliza en circuitos comparadores: dados dos palabras binarias, indica si son idénticas. Es esencial en unidades de control y verificación de datos.

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4. Propiedades Algebraicas del Álgebra de Boole

Como en el álgebra convencional, el álgebra de Boole cumple una serie de propiedades que son la base de su funcionamiento y resultan esenciales para simplificar circuitos lógicos.

4.1 Propiedades Fundamentales

Propiedad	Suma (OR)	Producto (AND)
Identidad	$A+0=A$	$A\cdot 1=A$
Complemento	$A+1=1$	$A\cdot 0=0$
Idempotencia	$A+A=A$	$A\cdot A=A$
Complemento	$A+\bar{A}=1$	$A\cdot \bar{A}=0$

4.2 Propiedades Conmutativa, Asociativa y Distributiva

Tanto la suma como el producto lógico cumplen estas tres propiedades:

Conmutativa: el orden de los operandos no afecta al resultado. $A+B=B+A$ $A\cdot B=B\cdot A$

Asociativa: la agrupación de operandos no afecta al resultado. $A+(B+C)=(A+B)+C$ $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$

Distributiva: el producto se distribuye sobre la suma y viceversa (esta última no ocurre en el álgebra convencional, pero sí en la de Boole). $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$ $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)$

La distributiva de la suma sobre el producto ( $A+BC=(A+B)(A+C)$) es exclusiva del álgebra de Boole y no tiene equivalente en el álgebra tradicional. Es una herramienta potente para simplificaciones.

4.3 Teoremas del Álgebra Booleana

Existen dos teoremas fundamentales que se utilizan profusamente en la simplificación de circuitos:

Teorema de Absorción: permite eliminar términos redundantes dentro de una expresión. $A+A\cdot B=A$ $A\cdot (A+B)=A$

Leyes de De Morgan: propuestas por Augustus De Morgan (1806–1871), permiten transformar productos en sumas negadas y viceversa. Son esenciales para convertir expresiones entre formas AND-OR y NAND-NOR.

$\overline{A\cdot B}=\bar{A}+\bar{B}$ $\overline{A+B}=\bar{A}\cdot \bar{B}$

Las Leyes de De Morgan son la herramienta más utilizada para convertir circuitos que usan puertas AND/OR en circuitos equivalentes que solo usan NAND o NOR. Esto es crítico en el diseño de circuitos integrados, donde se busca minimizar el número de tipos de puertas diferentes.

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5. Obtención de Tablas de Verdad

Las tablas de verdad son la herramienta central del diseño lógico combinacional. A partir de ellas podemos obtener la función algebraica, el circuito, o viceversa.

5.1 Construir una Tabla de Verdad a partir de un Circuito Lógico

Para obtener la tabla de verdad de un circuito combinacional ya construido, se sigue este procedimiento:

Procedimiento:

1. Determinar el número de variables de entrada del circuito.
2. Calcular el número de combinaciones posibles: $2^{\text{nº variables}}$.
3. Construir la tabla de verdad con todas las combinaciones de entrada.
4. Analizar el circuito para cada combinación de entradas y apuntar el valor de la salida.

5.2 Obtener la Expresión Algebraica a partir de una Tabla de Verdad

A partir de una tabla de verdad, se puede obtener la expresión algebraica del circuito en una de sus formas canónicas. Una forma canónica es una expresión que incluye todas las variables de entrada en cada uno de sus términos. Existen dos formas canónicas:

Primera Forma Canónica: Suma de Productos (SoP)

La función se expresa como una suma (OR) de productos (AND). Cada término se llama mintérmino (minterm).

Un mintérmino es un producto (AND) que representa una combinación específica de variables que produce salida = 1. Para cada fila de la tabla con salida 1:

• Si la variable vale 1, se pone directa.
• Si la variable vale 0, se pone negada.

Ejemplo de mintérminos:

Para una tabla con 3 variables (a, b, c), si la fila $a=0,b=1,c=0$ da salida 1, el mintérmino correspondiente es: $\bar{a}\cdot b\cdot \bar{c}$

Segunda Forma Canónica: Producto de Sumas (PoS)

La función se expresa como un producto (AND) de sumas (OR). Cada término se llama maxtérmino (maxterm).

Un maxtérmino es una suma (OR) que representa una combinación específica de variables que produce salida = 0. Para cada fila de la tabla con salida 0:

• Si la variable vale 0, se pone directa.
• Si la variable vale 1, se pone negada.

La elección entre SoP y PoS depende del diseño. Si la tabla tiene más unos que ceros, la forma PoS genera menos términos (y viceversa). Minimizar el número de términos desde el inicio reduce la complejidad del circuito final.

5.3 Obtener el Circuito Lógico a partir de una Tabla de Verdad

El flujo de diseño completo sigue este camino:

$\text{Tabla de Verdad}\to \text{Forma Canoˊnica (SoP o PoS)}\to \text{Circuito Loˊgico}$

Procedimiento:

1. Obtener la forma canónica a partir de la tabla de verdad.
2. Identificar cada término: cada producto (en SoP) se implementa con una puerta AND, y todos se combinan con una puerta OR.
3. Añadir inversores (NOT) donde las variables vayan negadas.
4. Conectar las entradas a las puertas según la expresión algebraica.

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6. Diagramas de Karnaugh

La función de un circuito en su forma canónica es fácil de obtener, pero no suele ser eficiente en términos de hardware: contiene más puertas lógicas de las necesarias. Simplificar una función significa implementar el mismo circuito con menos puertas: más simple, más rápido y más económico.

Existen dos métodos de simplificación:

1. Mediante propiedades y teoremas del álgebra de Boole (visto en la sección 4).
2. Diagramas o mapas de Karnaugh, un método gráfico adecuado para funciones de hasta 4 variables.

Los mapas de Karnaugh fueron desarrollados por Maurice Karnaugh (1924–2022) y son la herramienta de simplificación más intuitiva para funciones de pocas variables. Para funciones de 5 o más variables se recurre al método de Quine-McCluskey o a la simplificación algebraica.

6.1 Construcción del Mapa de Karnaugh

El mapa de Karnaugh es una rejilla donde cada celda representa una combinación de las variables de entrada. La clave de su funcionamiento es que las celdas adyacentes difieren en un solo bit (código Gray), lo que permite identificar visualmente términos que se pueden simplificar.

El tamaño del mapa depende del número de variables:

Variables	Tamaño del mapa	Celdas
2	2×2	4
3	2×4	8
4	4×4	16

Para construirlo, se transfieren los valores de salida de la tabla de verdad a las celdas correspondientes del mapa. Cada celda se identifica por el valor de las variables en los ejes (en código Gray).

6.2 Agrupación de Unos Adyacentes

Una vez completado el mapa, se deben formar grupos que contengan un número de unos que sea potencia de dos (1, 2, 4, 8, 16…).

Reglas de agrupación:

• Un uno puede formar parte de varias agrupaciones simultáneamente.
• No se pueden agrupar unos en diagonal; solo horizontal o vertical.
• El mapa de Karnaugh es esférico: los bordes opuestos son adyacentes. Los unos de la columna más a la izquierda son adyacentes a los de la columna más a la derecha, y lo mismo con las filas superior e inferior.
• Cuanto mayores sean las agrupaciones, más simplificada resultará la función.

La propiedad de "esfericidad" del mapa es crucial: muchas simplificaciones se logran agrupando unos que están en bordes opuestos del mapa. Ignorar esto lleva a funciones subóptimas.

6.3 Obtención de Términos de la Función Simplificada

Para cada grupo de unos construido en el paso anterior, se extrae un término del producto siguiendo estas reglas:

Procedimiento de extracción:

1. Identificar las variables que no cambian dentro del grupo (permanecen constantes en todas las celdas del grupo).
2. Escribir un producto (AND) con esas variables: si la variable vale 1, va directa; si vale 0, va negada.
3. Las variables que sí cambian dentro del grupo se eliminan (no aportan información).
4. Sumar (OR) todos los términos obtenidos de cada grupo.

Ejemplo: En un mapa de 3 variables (A, B, C), si un grupo de 4 unos tiene A constante en 1 y B, C varían, el término resultante es simplemente $A$. Si otro grupo tiene B=0 y C=1 constantes, el término es $\bar{B}\cdot C$. La función simplificada sería: $f=A+\bar{B}\cdot C$.

El método de Karnaugh garantiza que la expresión obtenida es la mínima en términos de número de términos y variables por término, algo que la simplificación algebraica manual no siempre logra de forma evidente.

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Bibliografía

• Molina, A. (2025). Apuntes del módulo “Sistemas Secuenciales Programables”. I.E.S. Segundo de Chomón.
• Manso, F. (2024). Electrónica Digital. Electrónica FP [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/playlist?list=PLuzS0jdNRVvpQmCxFV4S2eqfji90BnDub